Probabilidade e Estatística


Medidas de Dispersão

Professor: Leonardo Brandão Freitas do Nascimento

Introdução

  • Considere os seguintes valores das variáveis X, Y e Z:

    • \[x: 70, 70, 70, 70, 70.\]
    • \[y: 68, 69, 70, 71, 72.\]
    • \[z: 5, 15, 50, 120, 160.\]

  • Note que a média aritmética de cada variável é igual a 70.

  • Note que o conjunto x é mais homogêneo que os conjuntos y e z.

Introdução

  • Note que y é mais homogêneo que o conjunto z, pois há menor diversificação entre cada um dos valores e a média.

  • As medidas de tendência central são tanto mais descritivas de um conjunto de dados quanto menor for a variabilidade.

Introdução

Considere dois servidores, A e B, que processam requisições. Ambos têm o mesmo tempo (segundos) médio, 70 segundos.

Introdução

Tempo de resposta (A) Freq
69 2
70 7
71 1
Tempo de resposta (B) Freq
68 2
69 1
70 2
71 2
72 2
73 1

Introdução

  • Mesmo que ambos os servidores tenham o mesmo tempo médio de resposta, o Servidor B mostra uma maior variabilidade nos tempos de resposta

  • Essa variabilidade pode impactar a consistência da experiência do usuário, especialmente em sistemas que exigem tempos de resposta previsíveis.

Introdução

  • As medidas de dispersão são fundamentais na estatística descritiva, pois indicam o quanto os dados estão espalhados ou concentrados em torno de um valor central (como a média ou a mediana).

  • Elas são essenciais para entender a variabilidade dos dados

Amplitude

  • A medida mais simples de variabilidade é amplitude \(\mbox{Amplitude} = \mbox{maior valor} - \mbox{menor valor}\)

  • Em uma análise de tempo de resposta de servidores, a amplitude pode indicar a diferença entre o tempo mais rápido e o mais lento de resposta.

Amplitude- Exemplo

  • A tabala abaixo mostra o tempo gasto (segundos) de uma CPU na realização de 20 tarefas

Amplitude - Exemplo

X fa fr Fa Fr
35 1 0.05 1 0.05
36 6 0.30 7 0.35
37 9 0.45 16 0.80
38 2 0.10 18 0.90
39 1 0.05 19 0.95
40 1 0.05 20 1.00

Amplitude - Exemplo

x = c(35,36,37,38,39,40)
x  = rep(x,c(1,6,9,2,1,1))
range(x)
[1] 35 40
max(x)-min(x)
[1] 5

Amplitude - Exemplo

  • A tabala abaixo mostra o tempo gasto (segundos) de uma CPU na realização de 50 tarefas

Amplitude - Exemplo

X (34,36] (36,38] (38,40] (40,42] (42,44] (44,46] (46,48] (48,50]
PM 35 37 39 41 43 45 47 49
fa 3 10 9 5 12 2 8 1
fr 0.06 0.20 0.18 0.10 0.24 0.04 0.16 0.02
Fa 3 13 22 27 39 41 49 50
Fr 0.06 0.26 0.44 0.54 0.78 0.82 0.98 1.00

Amplitude - Exemplo

x = seq(35,49,2)
x  = rep(x,c(3,10,9,5,12,2,8,1))
range(x)
[1] 35 49
max(x)-min(x)
[1] 14

IQR

  • Uma medida de variabilidade que supera a dependência de valores extremos é a amplitude interquartil (IQR). \[IQR = Q_3 - Q_1\]

IQR

x = c(35,36,37,38,39,40)
x  = rep(x,c(1,6,9,2,1,1))
IQR(x)
[1] 1
max(x) - min(x)
[1] 5
x = c(35,36,37,38,39,40,90)
x  = rep(x,c(1,6,9,2,1,1,3))
IQR(x)
[1] 2
max(x) - min(x)
[1] 55

Observações

  • Um problema com as medidas de dispersão anteriores, como a amplitude e o intervalo interquartil, é que elas consideram apenas as diferenças entre valores em determinadas posições quando os dados são ordenados.

  • Existem medidas que indica a variabilidade de uma variável levando em conta todos os seus valores.

Variância

  • A variância é uma medida de variabilidade que utiliza todos os dados;
  • A variância baseia-se na diferença entre o valor de cada observação \(x_i\) e a média;
  • A diferença entre cada \(x_i\) e a média denomina-se desvio em torno da média;
  • A variância amostral é representada por \(S^2\)

Variância - Exemplo

  • Considere o tempo (segundos) de cinco tarefas realizadas por um CPU \((x: 3, 6, 5, 7, 9)\). Calcule a variância.

  • Obtenha a média, ou seja, 6.

Variância - Exemplo

Observação (\(x\)) \((x-\bar{x})\) \((x-\bar{x})^2\)
3 (3-6=-3) \((-3)^2=9\)
6 (6-6=0) 0
5 (5-6=-1) 1
7 (7-6=1) 1
9 (9-6=3) 9
Total 0 20

Variância - Exemplo

  • Divida 20 por \(n-1\), ou seja, \(5-1=4\). Portanto, \(S^2=\dfrac{20}{4}=5 segundos^2\)

  • Uma interpretação prática será visto juntamente com o conceito de desvio padrão

Variância - Exemplo

x = c(3,6,5,7,9)
var(x)
[1] 5

\[ s^2 = \dfrac{(x_1 - \bar{x})^2+(x_2 - \bar{x})^2+...+(x_n - \bar{x})^2}{n-1} \]

Variância - Exemplo

  • A tabala abaixo mostra o tempo gasto (segundos) de uma CPU na realização de 20 tarefas

Variância - Exemplo

X fa fr Fa Fr
35 1 0.05 1 0.05
36 6 0.30 7 0.35
37 9 0.45 16 0.80
38 2 0.10 18 0.90
39 1 0.05 19 0.95
40 1 0.05 20 1.00

Variância - Exemplo

x = c(35,36,37,38,39,40)
n = 20
fr = c(0.05,0.30,0.45,0.10,0.05,0.05)
fa = n*fr
media.ponderada = weighted.mean(x = x,w = fr)

sum(fa*(x-media.ponderada)^2)/(n-1)
[1] 1.313158

\[ s^2 = \dfrac{(x_1 - \bar{x})^2f_{a_1}+(x_2 - \bar{x})^2f_{a_2}+...+(x_k - \bar{x})^2f_{a_k}}{n-1} \]

Variância - Exemplo

  • A tabala abaixo mostra o tempo gasto (segundos) de uma CPU na realização de 50 tarefas

Variância - Exemplo

X (34,36] (36,38] (38,40] (40,42] (42,44] (44,46] (46,48] (48,50]
PM 35 37 39 41 43 45 47 49
fa 3 10 9 5 12 2 8 1
fr 0.06 0.20 0.18 0.10 0.24 0.04 0.16 0.02
Fa 3 13 22 27 39 41 49 50
Fr 0.06 0.26 0.44 0.54 0.78 0.82 0.98 1.00

Variância - Exemplo

x = c(seq(35,49,2))
n = 50
fr = c(0.06,0.20,0.18,0.10,0.24,0.04,0.16,0.02)
fa = n*fr
media.ponderada = weighted.mean(x = x,w = fr)
sum(fa*(x-media.ponderada)^2)/(n-1)
[1] 14.96163

\[ s^2 = \dfrac{(PM_1 - \bar{x})^2f_{a_1}+(PM_2 - \bar{x})^2f_{a_2}+...+(PM_k - \bar{x})^2f_{a_k}}{n-1} \]

Desvio Padrão

  • As unidades elevadas ao quadrado associadas à variância tornam difícil obter uma compreensão e uma interpretação intuitiva do valor numérico da variância;

  • Considere o tempo (segundos) de processamento do Servidor A

 [1] 26 36 35 30 24 35 34 34 34 28 34 37 30 25 34 34 28 38 26 32

Desvio Padrão - Exemplo

  • A variância amostral é de \(S^2 =\) 18 \(segundos^2\)
  • Uma vez que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, a unidade da variância, segundos elevado ao quadrado, é convertida em segundos no desvio padrão.
  • Em outras palavras, o desvio padrão é medido nas mesmas unidades dos dados originais.

Desvio Padrão - Exemplo

  • Desvio padrão amostral é dado por \(s = \sqrt{s^2}\).

  • Considerando os salários iniciais dos graduados, tem-se que o desvio padrão dos tempos de procesamentos é de \(s=\) 4.244

  • Portanto, os valores dos tempos estão em torno de uma média amostral (\(\bar{x}\)) com desvio \(s\), isto é, \(\bar{x}\pm s\). Portanto 31.7 \(\pm\) 4.244 segundos

  • Para calcular o desvio padrão no R usamos: sd(x)

Desvio Padrão - Exemplo

Coeficiente de Variação

  • Um desvio padrão pode ser considerado grande ou pequeno dependendo da ordem de grandeza da variável.

  • Uma maneira de se expressar a variabilidade dos dados tirando a influência da ordem de grandeza da variável é através do coeficiente de variação.

Coeficiente de Variação

  • Essa medida indica quão grande é o desvio padrão em torno da média. \[CV = \left(\dfrac{s}{\bar{x}} \times 100\right)\%\]

Coeficiente de Variação

  • Interpretado como a variabilidade dos dados em relação à média. Quanto menor o CV mais homogêneo é o conjunto de dados.

  • O fato de o coeficiente de variação ser dado em valor relativo nos permite comparar conjuntos de valores que apresentam unidades de medida distintas.

Coeficiente de Variação - Exemplo

  • Suponha que você tenha medido o tempo de execução (em milissegundos) de dois algoritmos de ordenação, Algoritmo A e Algoritmo B, em várias execuções com o mesmo conjunto de dados. Os tempos de execução foram registrados como segue:

  • Algoritmo A: Tempos de execução: 15, 16, 15, 17, 14, 16, 15 ms

  • Algoritmo B: Tempos de execução: 45, 47, 44, 46, 45, 48, 46 ms

Coeficiente de Variação - Exemplo

A = c(15, 16, 15, 17, 14, 16, 15)
B = c(45, 47, 44, 46, 45, 48, 46)

(media.A = mean(A));(media.B = mean(B))
[1] 15.42857
[1] 45.85714
(sd.A = sd(A));(sd.B = sd(B))
[1] 0.9759001
[1] 1.345185
(cv.A = (sd.A/media.A)*100);(cv.B = (sd.B/media.B)*100)
[1] 6.325278
[1] 2.933426

Coeficiente de Variação - Exemplo

  • O Algoritmo A tem um CV de aproximadamente 6.33%, enquanto o Algoritmo B tem um CV de aproximadamente 2.93%.

  • Isso indica que o Algoritmo B possui uma variabilidade menor em relação ao seu tempo de execução médio, sendo mais consistente do que o Algoritmo A.

  • A análise do coeficiente de variação é útil para comparar a consistência de desempenho dos algoritmos, independentemente das unidades de medida.

Referências