Probabilidade e Estatística


Medidas de Posição e Separatrizes

Professor: Leonardo Brandão Freitas do Nascimento

Introdução

  • As medidas de tendência central são estatísticas usadas para resumir um conjunto de dados, indicando um valor central ou típico em torno do qual os dados se distribuem.

  • As principais medidas de tendência central são a média, a mediana e a moda.

  • Cada uma dessas medidas tem suas próprias características e aplicações, dependendo do tipo de dados e do contexto da análise

  • O interesse é caracterizar o conjunto de dados através de medidas que resumem as informações

Símbolos matemáticos

  • Para representar uma amostra de tamanho \(n\), escrevemos: \[x_1, x_2,..., x_n,\] onde \(x_i\) é a \(i\)-ésima observação em um conjunto de \(n\) observações, ou seja, \(x_1\) representa a primeira observação, \(x_2\) a segunda e assim por diante.

  • Considere os tempos, em segundos, de cinco tarefas realizadas por uma CPU: \[30; 25; 28;33;31. \]

  • Escreva esse conjunto na notação geral: \(x_1 = 30\),\(x_2 = 25\), \(x_3 = 28\), \(x_4 = 33\), \(x_5 = 31\).

Símbolos matemáticos

  • Em alguns momentos estamos interessados em ordenar os dados do menor valor para o maior valor, dessa forma escrevemos: \[x_{(1)}, x_{(2)},..., x_{(n)},\] onde \(x_{(1)}\) é a menor observação, \(x_{(2)}\) é a segunda menor e assim por diante.

  • Considere os tempos, em segundos, de cinco tarefas realizadas por uma CPU: \[30; 25; 28;33;31. \]

  • Ordene os dados e escreva na notação apresentada: \(x_{(1)} = 25\),\(x_{(1)} = 28\), \(x_{(3)} = 30\), \(x_{(4)} = 31\), \(x_{(5)} = 33\).

Símbolos matemáticos

  • Para indicarmos a soma dos valores \(x_1, x_2,..., x_n\), isto é, \(x_1+x_2+x_3+...+x_n\), utilizamos o símbolo \(\Sigma\) (letra grega maiúscula: sigma), denominado como somatório em linguagem matemática.

  • A soma dos valores \(x_1, x_2,..., x_n\) é escrita, de forma mais compacta, como segue: \[x_1+x_2+x_3+...+x_n = \sum_{i=1}^{n}x_i. \]

  • Lemos: somatório de \(x\) índice \(i\), para \(i\) de \(1\) a \(n\).

Média

Média Aritmética Simples

  • A média arimética simples de um conjunto de dados é obtida somando todos os valores e dividindo o resultado pelo tamanho da amostra, ou seja, \[\mbox{Média} = \dfrac{\mbox{soma de todos os valores}}{\mbox{Tamanho da amostra}}.\]

Média Aritmética Simples

  • Se as \(n\) observações em uma amostra forem denotadas por \(x_1,x_2,\ldots,x_n\), então a média amostral será \[\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i}{n}.\]

Média Aritmética Simples - Exemplo

  • Para calcular a média do conjunto de dados \(30, 25, 28, 33, 31\), utilizamos a fórmula da média aritmética: \(\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\), ou seja, \[\bar{x} = \frac{30 + 25 + 28 + 33 + 31}{5} = \frac{145}{5} = 29.4\]
tempo.cpu = c(30,25,28,33,31)
print(paste("A média do conjunto de dados é:", mean(tempo.cpu) ) )
[1] "A média do conjunto de dados é: 29.4"

Média Aritmética Ponderada - Exemplo

  • A tabala abaixo mostra o tempo gasto (segundos) de uma CPU na realização de 20 tarefas
  • As frequências podem ser observadas como o peso de cada observação.

Média Aritmética Ponderada - Exemplo

X fa fr Fa Fr
35 1 0.05 1 0.05
36 6 0.30 7 0.35
37 9 0.45 16 0.80
38 2 0.10 18 0.90
39 1 0.05 19 0.95
40 1 0.05 20 1.00

Média Aritmética Ponderada - Exemplo

  • Para calcular a média do conjunto de dados utilizamos a média ponderada: \[\bar{x}=\frac{f_{a_1} x_1+f_{a_2} x_2+\cdots+f_{a_k} x_k}{n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{k}f_{a_i} x_i}{n}=\sum\limits_{i=1}^{k}x_i f_{r_i}.\]
x = c(35,36,37,38,39,40)
fr = c(0.05,0.30,0.45,0.10,0.05,0.05)
media.ponderada = weighted.mean(x = x,w = fr)
print(paste("A média ponderada do conjunto de dados é: ", media.ponderada) )
[1] "A média ponderada do conjunto de dados é:  36.95"

Média Aritmética Ponderada - Exemplo

  • Suponha que um aluno obteve as seguintes notas: 8 (parcial 1), 6 (parcial 2) e 9 (parcial 3). Nessa caso, a média dos exercícios escolares é: \(MEE = \frac{8+6+9}{3} = 7.67\). Sabendo que MEE tem peso 2 e a nota da prova final (peso 1) foi de 5, quanto é a nota final do aluno?

Média Aritmética Ponderada - Exemplo

  • Para calcular a média do conjunto de dados utilizamos a média ponderada: \[{MF}=\frac{2 MEE+PF}{3}=\frac{2\times7.67+5}{3} = 6.78\]
x = c(7.67,5)
fr = c(2,1)
media.ponderada = weighted.mean(x = x,w = fr)
print(paste("A média ponderada do conjunto de dados é: ", media.ponderada) )
[1] "A média ponderada do conjunto de dados é:  6.78"

Média Aritmética Ponderada - Exemplo

  • A tabala abaixo mostra o tempo gasto (segundos) de uma CPU na realização de 50 tarefas

Média Aritmética Ponderada - Exemplo

X (34,36] (36,38] (38,40] (40,42] (42,44] (44,46] (46,48] (48,50]
PM 35 37 39 41 43 45 47 49
fa 3 10 9 5 12 2 8 1
fr 0.06 0.20 0.18 0.10 0.24 0.04 0.16 0.02
Fa 3 13 22 27 39 41 49 50
Fr 0.06 0.26 0.44 0.54 0.78 0.82 0.98 1.00

Média Aritmética Ponderada - Exemplo

  • Para calcular a média do conjunto de dados utilizamos a média ponderada: \[\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{k}f_{a_i} PM_i}{n}=\sum\limits_{i=1}^{k}PM_i f_{r_i},\] em que \(PM_i\) é o ponto médio da classe \(i\)
x = c(seq(35,49,2))
fr = c(0.06,0.20,0.18,0.10,0.24,0.04,0.16,0.02)
media.ponderada = weighted.mean(x = x,w = fr)
print(paste("A média ponderada do conjunto de dados é: ", media.ponderada) )
[1] "A média ponderada do conjunto de dados é:  41.24"

Moda

  • A moda de uma variável é o valor que ocorre com mais frequência, ou seja, aquele que mais se repete.

  • Se dois valores ocorrerem com a mesma frequência máxima a variável é bimodal;

  • Se mais de dois valores ocorrem com a mesma frequência máxima, a variável é multimodal;

  • Quando nenhum valor se repete, a variável não tem moda.

  • A moda do conjunto de dados será denotada por \(Mo\).

Dados não agrupadados - Exemplo

Considere as seguintes séries de dados e identifique a moda:

  • 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15

  • 3, 5, 8, 10, 12, 13

  • 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9

ex1 = c(7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15)
table(ex1)
ex1
 7  8  9 10 11 12 13 15 
 1  1  1  3  1  1  1  1

Dados agrupadados - Exemplo

  • A tabala abaixo mostra o tempo gasto (segundos) de uma CPU na realização de 50 tarefas
  • Para cada série de dados, primeiro identificamos a classe modal (a classe com a maior frequência) e então aplicamos a fórmula para calcular a moda.

Dados agrupadados - Exemplo

X (34,36] (36,38] (38,40] (40,42] (42,44] (44,46] (46,48] (48,50]
PM 35 37 39 41 43 45 47 49
fa 3 10 9 5 12 2 8 1
fr 0.06 0.20 0.18 0.10 0.24 0.04 0.16 0.02
Fa 3 13 22 27 39 41 49 50
Fr 0.06 0.26 0.44 0.54 0.78 0.82 0.98 1.00

Dados agrupadados - Exemplo

\(Mo(X) = l+\left( \dfrac{d_1}{d_1+d_2}\right) \times h,\)

onde:

  • Classe modal: classe com maior frequência

  • \(l\) : é o limite inferior da classe modal;

  • \(d_1\): diferença entre a frequência absoluta da classe modal e a imediatamente anterior;

  • \(d_2\): diferença entre a frequência absoluta da classe modal e a imediatamente posterior;

  • \(h\): amplitude da classe modal.

Dados agrupadados - Exemplo

  • O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal.

Mediana

Dados não agrupados

  • Considere o tempo (segundos) de cinco tarefas realizadas por uma CPU:\(30, 25, 28, 33, 31\)
  • Considere o tempo (segundos) de seis tarefas realizadas por uma CPU:\(30, 25, 28, 33, 31,32\)
median(c(30, 25, 28, 33, 31))
[1] 30
median(c(30, 25, 28, 33, 31,32))
[1] 30.5

Dados não agrupados

  • Consideremos, agora, as observações ordenadas em ordem crescente. Vamos denotar a menor observação por \(x_{(1)}\), a segunda por \(x_{(2)}\), e assim por diante, obtendo-se

\[x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \ldots \leq x_{(n-1)} \leq x_{(n)}\]

Dados não agrupados

  • Com esta notação, a mediana da variável \(X\) pode ser definida por
\[\begin{align} md(X) &= x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} \quad \text{se } n \text{ é ímpar} \\ md(X) &= \dfrac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} \quad \text{se } n \text{ é par}. \end{align}\]

Dados não agrupados

  • A tabala abaixo mostra o tempo gasto (segundos) de uma CPU na realização de 20 tarefas. Obtenha a mediana.

Dados não agrupados

X fa fr Fa Fr
35 1 0.05 1 0.05
36 6 0.30 7 0.35
37 9 0.45 16 0.80
38 2 0.10 18 0.90
39 1 0.05 19 0.95
40 1 0.05 20 1.00

Dados agrupadados - Exemplo

  • A tabala abaixo mostra o tempo gasto (segundos) de uma CPU na realização de 50 tarefas
  • Para cada série de dados, primeiro identificamos a classe mediana (a classe que acumula 50% das observações) e então aplicamos a fórmula para calcular a mediana.

Dados agrupadados - Exemplo

X (34,36] (36,38] (38,40] (40,42] (42,44] (44,46] (46,48] (48,50]
PM 35 37 39 41 43 45 47 49
fa 3 10 9 5 12 2 8 1
fr 0.06 0.20 0.18 0.10 0.24 0.04 0.16 0.02
Fa 3 13 22 27 39 41 49 50
Fr 0.06 0.26 0.44 0.54 0.78 0.82 0.98 1.00

Dados agrupadados - Exemplo

  • A fórmula usada é dada por:

\[Md(X) = l + \left( \dfrac{n/2 - F}{f_{a_{cm}}} \right) \times h,\]

Dados agrupadados - Exemplo

onde:

  • Classe mediana: classe que acumula 50% das observações.
  • \(l\) : é o limite inferior da classe mediana;
  • \(n\): número total de elementos;
  • \(F\): frequência absoluta acumulada até a classe anterior à classe mediana;
  • \(f_{a_{cm}}\): frequência absoluta da classe mediana;
  • \(h\): amplitude da classe mediana.

Observações

  • Média.
    • Vantagens: é a mais usada das medidas, existe em qualquer variável quantitativa, leva em conta todos os valores da amostra e é usada em muitos métodos estatísticos.
    • Desvantagem: é afetada por valores extremos.

Observações

  • Mediana.
    • Vantagens: é usada com frequência, existe em qualquer variável quantitativa e não é afetada por valores extremos.
    • Desvantagem: não leva em conta todos os valores no cálculo.

Observações

  • Moda.
    • Vantagem: Não é afetada por valores extremos.
    • Desvantagens: é raramente usada, pode não existir em uma variável quantitativa, não leva em conta todos os valores e pode existir mais de uma moda em uma variável.

Assimetria e Simetria

  • Uma distribuição é simétrica quando a metade direita do gráfico é uma imagem espelhada da metade esquerda, indicando que os valores estão igualmente distribuídos em torno da média.

  • Nesse caso, a média, a mediana e a moda geralmente são iguais.

Assimetria e Simetria

  • Por outro lado, uma distribuição assimétrica ocorre quando a distribuição dos dados não é simétrica, o que significa que há uma assimetria ou distorção na forma da distribuição.

  • Isso pode ocorrer quando há valores extremos ou quando os dados estão inclinados para a esquerda (assimetria negativa) ou para a direita (assimetria positiva).

Assimetria e Simetria

  • Nesse caso, a média, a mediana e a moda podem ser diferentes.

Assimetria e Simetria

Separatrizes

Exemplos

  1. Determinar os 10% mais ricos ou os 25% mais pobres

  2. Identificar os 20% de clientes que geram mais receita

  3. 10% das requisições estão enfrentando atrasos significativos

  4. 75% dos usuários do aplicativo gastam até 3 minutos nas sessões

Quartis

  • Os quartis são três valores que dividem os dados em quatro partes iguais:

  1. Primeiro quartil \(Q_1\): é o valor abaixo do qual 25% dos dados estão situados.

  2. Segundo quartil \(Q_2\): é a mediana, divide os dados ao meio, com 50% dos dados abaixo dele.

  3. Terceiro quartil \(Q_3\): é o valor abaixo do qual 75% dos dados estão situados.

Quartis

Para calcular os quartis, siga estes passos:

  1. Ordene os dados em ordem crescente.

  2. Encontre a mediana (\(Q_2\)), divide os dados em duas metades.

  3. \(Q_1\) é o número que está na metade inferior dos dados (do menor valor até \(Q_2\)).

  4. \(Q_3\) é o número que está da metade superior dos dados (de \(Q_2\) até o maior valor).

Quartis - Exemplos

  • Considere os tempos, em segundos, de cinco tarefas realizadas por uma CPU: \[30; 25;20;28;33;31;32. \]

Quartis - Exemplos

z = c(30,25,20,28,33,31,32)
summary(z)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
  20.00   26.50   30.00   28.43   31.50   33.00

  • Dados ordenados: 20, 25, 28, 30, 31, 32, 33

  • \(Q_1 = \frac{25+28}{2} = 26.5\). Portanto, 25% das tarefas foram realizadas em até 26.5 segundos

  • \(Q_2 = 30\). Portanto, 50% das tarefas foram realizadas em até 30 segundos

  • \(Q_3 = \frac{31+32}{2} = 31.5\). Portanto, 75% das tarefas foram realizadas em até 31.5 segundos

Percentis

  • De forma geral, pode-se determinar o \(p\)-ésimo percentil.
Percentil

O p-ésimo percentil é o valor que pelo menos \(p\) por cento das observações são menores ou iguais a esse valor e pelo menos (100 − p) por cento das observações são maiores ou iguais a esse valor.

Percentis

O procedimento a seguir pode ser usado para calcular o \(p\)-ésimo percentil.

  • Etapa 1: Organize os dados em ordem crescente.

  • Etapa 2: Calcule um índice \(i\) \[ i = \left(\frac{p}{100}\right)n \] onde \(p\) é o percentil procurado e \(n\) é o número de observações.

Percentis

  • Etapa 3:

    • Se \(i\) não for um número inteiro, arredonde-o para cima. O próximo número inteiro maior do que \(i\) denota a posição do \(p\)-ésimo percentil.
    • Se \(i\) for um número inteiro, o \(p\)-ésimo percentil será a média dos valores que ocupam as posições \(i\) e \(i+1\).

Percentis - Exemplos

z = c(30,25,20,28,33,31,32)
per = c(.10,.20,.25,.50,.75,.90)
quantile(z,per)
 10%  20%  25%  50%  75%  90% 
23.0 25.6 26.5 30.0 31.5 32.4

  • 20% das tarefas foram realizadas em até 25.6 segundos

  • 90% das tarefas foram realizadas em até 32.4 segundos

  • Observação: às vezes são utilizadas outras convenções para calcular os percentis, e os valores reais atribuídos aos percentis podem variar ligeiramente. Para mais informações, digite: ?quantile

Referências